이전에 업로드한 글에서 굴절률이 다른 두 매질을 통과하는 빛은 스넬의 법칙(Snell's law)을 따라 각 매질의 굴절율에 의해 입사각과 굴절각이 결정된다고 하였습니다.
이 번 글에서는 이것을 조금 더 수학적으로 접근하여 증명하는 페르마의 원리(Fermat's principle)에 대해 알아보도록 하겠습니다.
페르마의 원리
프랑스의 저명한 수학자 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)가 주창한 페르마의 원리는 두 지점을 통과하는 빛이 지나가는 경로는 가장 짧은 시간이 소요되는 경로라는 원리입니다.
즉 빛은 가장 짧은 시간의 경로로 진행한다는 것입니다.
이후 수학자 해밀턴(William Rowan Hamilton; 1805-1865)에 의해 조금 더 확장되어 모든 물체는 액션(Action)을 최소화하는 방향으로 거동한다는 해밀턴의 원리(Hamilton's principle) 또는 최소 작용 원리(principle of least action)로 발전되었습니다.
이 페르마의 원리와 피타고라스 정리 그리고 간단한 삼각함수를 이용하면 스넬의 법칙을 매우 간단하게 수학적으로 증명할 수 있습니다.
스넬의 법칙 증명
아래의 그림과 같이 굴절률이 ni인 매질의 Pi 위치에서 굴절률이 nr인 매질의 Pr 위치로 빛이 지나갈 때의 거동은 복잡하지 않게 빛이 경계면을 통과하는 지점의 수평 거리 x에 대한 1차원 방정으로 간단히 표시할 수 있습니다.
여기서
θi,r : 입사각, 굴절각
h, d, w : Pi,r 위치에 대한 y 거리, x 거리 등입니다.
적색 화살표로 표시되는 빛의 전체 이동 거리 R은 피타고라스 정리에 의해
R = ( h2 + x2 )1/2 + [ d2 + ( w - x )2 ]1/2
가 됩니다.
이때 각 매질에서 빛의 속도는 굴절률이 1인 진공에서 빛의 속도 c와 매질의 굴절률로 나타낼 수 있는데
vi = c / ni vr = c / nr
이므로 빛이 이동하는데 걸린 전체 시간 T는 각 매질에서의 이동 거리를 속도로 나누면 구할 수 있습니다.
T = ni ·( h2 + x2 )1/2 / c + nr·[ d2 + ( w - x )2 ]1/2 / c
이 시간 T가 최소화되는 하는 조건은 dT / dx = 0으로부터 구할 수 있습니다. x에 대해 미분한 뒤에 빛의 속도 c는 상수이므로 제거하면
dT / dx = ni· x / ( h2 + x2 )1/2 - nr·( w - x ) / [ d2 + ( w - x )2 ]1/2 = 0
을 얻을 수 있습니다. 여기서 각 항목의 분모와 분자를 잘 살펴보면 사인함수로 간단히 정리할 수 있으므로
ni·sin θi - nr·sinθr = 0
결국 스넬의 법칙과 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
ni / nr = sinθr / sinθi
최소 이동 시간이 되는 경로를 따라 빛이 이동한다는 원리로부터 기존의 다른 물리 법칙을 증명할 수 있는 것입니다. 물론 동일 매질에서 반사되는 경우 ni = nr이 되므로 입사각과 반사각은 같다는 사실도 쉽게 증명할 수 있습니다.
생활 속의 페르마 원리 (스넬의 법칙)
빛은 최단 시간이 소요되는 경로를 따라 이동한다는 페르마의 원리와 빛의 입사각과 굴절각은 매질의 굴절률에 따라 달라지고 입사각과 반사각은 동일하다는 스넬의 법칙은 결국 같다는 사실을 알았습니다.
그렇다면 우리의 생활 속에서는 이러한 원리와 법칙이 어떻게 적용되고 있을까요?
1. 입사각과 반사각이 같기 때문에 우리는 거울을 통해 매우 쉽게 얼굴을 자세히 볼 수 있으며 본인 키의 절반 크기의 거울만 있다면 전신을 살펴볼 수 있습니다. 교통 안전을 위한 볼록 거울에도 이 법칙이 적용됩니다.
2. 볼록 렌즈와 오목 렌즈 등과 같이 다양한 모양과 굴절률 가진 렌즈와 기하학적인 거울을 사용하는 모든 광학 기기에 이들 법칙이 적용됩니다. (카메라, 망원경, 디스플레이 장치 등)
3. 디지털 신호를 광신호로 전환한 뒤 이것을 케이블에 입사시켜서 방향이나 거리에 무관하게 손실 없이 테이터를 주고받는 광통신 시스템에도 빛이 매질 내에서 전반사가 되도록 굴절률을 조정하는 것입니다.
